Гнатюк В.И. Закон оптимального построения техноценозов, 2005 – главная страница

Адрес монографии в сети – http://gnatukvi.ru/ind.html

 

 

 

Приложение 1

 

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОПОТРЕБЛЕНИЯ

 

 

Алгоритм имитационного моделирования агрегата. Описание состояния агрегата. Описание сигналов в модели. Описание состояния элемента агрегата. Определение вероятности изменения общего состояния агрегата. Параметры вектора выходного сигнала. Вероятность перехода элемента в определенное функциональное состояние. Моделирование функционирования агрегата в промежутках между особыми состояниями. Рекомендации по применению методологии.

 

 

Как показано автором в работе [11], имитационное моделирование процессов функционирования объектов техноценоза можно эффективно осуществлять с помощью агрегатного метода, достаточно хорошо изложенного в [3,4,40]. В каждый момент времени  агрегат находится в одном из возможных состояний, которое является элементом множества Z (рис. П1.1).

 

 

Рис. П1.1.

Схема алгоритма имитационного моделирования

процесса функционирования агрегата

 

 

Состояние агрегата может быть описано с помощью вектора

 

(П1.1)

где

временная координата;

 

экзогенные переменные, априорно определяющие структуру агрегата;

 

n = 1, 2, 3…

натуральный ряд;

 

P

вероятность реализации определенного функционального состояния агрегата;

 

t

координата, количественно характеризующая его состояние.

 

Состояние агрегата  для произвольного момента времени  определяется по предыдущему состоянию случайным оператором Н, причем

 

(П1.2)

 

Агрегат имеет особые входные контакты, к которым в моменты времени  поступают управляющие сигналы g, являющиеся элементами множества G. Кроме того, агрегат имеет входные контакты, способные воспринимать воздействия внешней по отношению к нему инфраструктуры . На выходе образуются выходные сигналы , определяемые по его состоянию .

С достаточной для целей моделирования общностью любой сигнал, циркулирующий между объектами техноценоза, описывается с помощью конечного набора характеристик. Так, входной и выходной сигналы можно представить соответственно в виде векторов:

 

 

(П1.3)

 

где

 

 

 

 

Выходной сигнал «y» определяется по состоянию агрегата с помощью оператора G, аналогичного по форме Н. Вид оператора Н зависит от того, содержит ли рассматриваемый интервал времени особые состояния агрегата, происходящие в моменты получения или выдачи сигнала. Из особых состояний агрегат может переходить в новое состояние скачком. Если считать, что  – некоторое особое состояние агрегата, а  – последний управляющий сигнал, то состояние агрегата в момент времени  (непосредственно после скачкообразного изменения состояния) может быть описано с помощью частных форм оператора Н:

 

(П1.4)

 

Частная форма оператора H выбирается соответственно, если  – момент поступления в агрегат входного сигнала, поступления управляющего сигнала, одновременного поступления названных сигналов или выдачи выходного сигнала.

В интервалах между особыми состояниями агрегата значение  определяется с помощью оператора, вид которого зависит от последнего особого состояния:

 

(П1.5)

 

Из множества Z состояний агрегата  может быть выделена система подмножеств, обладающая различными свойствами. В ходе имитационного моделирования в качестве временной координаты, как правило, используется модельное время , с помощью которого реализуется квазипараллельная работа компонент в общей имитационной модели. При этом корректировка временных координат  нескольких компонент системы осуществляется с помощью модельного времени  следующим образом [11,40]. Если значения  при выполнении алгоритмов нескольких компонент совпадают (это означает, что в реальной системе происходит одновременно несколько событий), то алгоритмы, совпадающие по времени выполнения, обслуживаются последовательно. Модельное время  не меняется до окончания выполнения всех совпадающих по времени алгоритмов. После реализации группы алгоритмов выполняется оператор корректировки временной координаты , который в большинстве случаев осуществляет вычисление нового значения  по стохастическому, рекуррентному или детерминированному закону.

Автор в [11,12] предлагает подразделять функционирующие технические изделия (входящие в состав объектов техноценоза) на две группы. К первой относятся элементы, которые, помимо реализации определенного функционального состояния (при реализации особого состояния агрегата), характеризуются также и величиной, численно определяющей данное состояние. Ко второй группе относятся элементы (как правило, второстепенные), характеризующиеся только фактом скачкообразной реализации функционального состояния. События, заключающиеся в реализации определенного функционального состояния i-го элемента, характеризующегося параметрическим вектором

 

(П1.6)

 

при реализации общего состояния, характеризующегося вектором

 

(П1.7)

 

моделируются с помощью оператора Н, который выполняется следующим образом. В начальный момент времени  в системе задаются начальное состояние агрегата  и начальное значение управляющего сигнала . Если  и  принципиально различимые меры функционального состояния агрегата в моменты времени  и  (где  и  – моменты поступления первого и второго входных сигналов, а  – момент поступления первого управляющего сигнала, и ), то на полуинтервале  состояние агрегата изменяется по закону:

 

(П1.8)

где

 

до тех пор, пока не произойдет изменение состояния агрегата и не будет выдан выходной сигнал. Произойдет это в момент , после чего закон изменения состояния агрегата приобретет вид:

 

(П1.9)

 

Определение вероятности Р изменения общего состояния агрегата заключается в построении импликативной схемы системы по вероятностным координатам ее компонент [40,65]:

 

(П1.10)

 

В простейшем случае агрегат рассматривается таким образом, чтобы при декомпозиции компоненты в вероятностной схеме системы объединялись в основное соединение последовательно. Тогда вероятность Р может быть достаточно просто подсчитана методами теории вероятностей [1,23,24,62,65].

Вероятность  реализации функционального состояния компонент агрегата при воздействии на него совокупности возмущающих факторов, поступающих в модели с входным сигналом, может быть найдена из следующего выражения:

 

(П1.11)

где

вероятность реализации функционального состояния i-го элемента под воздействием j-го фактора входного сигнала .

 

Следует иметь в виду, во-первых, что выражение (П1.11) – простейшее и описывает последовательную совокупность факторов (в вероятностном смысле). В более сложных схемах воздействия для получения  необходимо производить построение импликативной схемы по вероятности , то есть в общем случае

 

(П1.12)

 

Во-вторых, путем соответствующего построения агрегативной схемы и воздействующих факторов можно избежать синергизма факторов входного сигнала [11,12].

Вероятность  в общем случае зависит от закона распределения, по которому происходит возмущающее воздействие. Однако в подавляющем большинстве случаев она может быть аппроксимирована нормальной функцией распределения вида:

 

(П1.13)

где

 и

соответственно математическое ожидание и стандарт значения уровня j-го возмущающего фактора применительно к i-му элементу агрегата, которые задаются априорно в комплексе экзогенных переменных;

 

стохастическое значение уровня j-го возмущающего фактора применительно к i-му элементу агрегата, задаваемое в комплексе эндогенных переменных;

 

переменная интегрирования.

 

Остается добавить, что параметры и переменные в выражении (П1.13) являются координатами вектора входного сигнала, описанного выражениями (П1.3 и П1.4).

Прежде чем рассматривать дальнейшее изменение состояния агрегата во времени, необходимо проверить, не удовлетворяет ли состояние  условиям выдачи выходного сигнала. Если данное условие выполняется, то состояние моделируемого агрегата описывается соотношением:

 

(П1.14)

 

а в момент времени  выдается второй выходной сигнал.

 

Вектор выходного сигнала «y» может формироваться на двух уровнях: на уровне всего агрегата и на уровне компонент. Первый вариант выбирается в том случае, если агрегат состоит из элементов второй группы, для которых реализуются только определенные функциональные состояния компонент, при этом в качестве выходного сигнала выступает количество реализаций, а также ряд других координат. Второй вариант используется в том случае, если агрегат состоит из элементов первой группы, а основу координат выходного сигнала составляют величины, численно выражающие реализовавшееся в процессе моделирования функциональное состояние компонент.

В любом случае факт выдачи выходного сигнала после скачкообразного изменения состояния агрегата определяется с помощью датчиков случайных величин по вероятностям  или  следующим образом:

 

(П1.15)

где

случайное число, равномерно распределенное в интервале от 0 до 1, вырабатываемое датчиком случайных величин.

 

При необходимости оценки математического ожидания количества элементов агрегата i-го типа, реализовавших свое функциональное состояние при изменении состояния всей системы, может быть выполнена рандомизация вида:

 

(П1.16)

где

количество элементов i-го типа, имеющих k-ю степень сопротивляемости j-му воздействию;

 

функция вероятности реализации возмущающего воздействия j-го фактора на i-й элемент, имеющий k-ю степень сопротивляемости, в зависимости от координаты r, нормирующей данное воздействие;

 

плотность распределения вероятности ;

 

максимальное значение координаты r, нормирующей воздействие j-го фактора на i-й элемент;

 

коэффициент синергизма [3,4,11,40,62].

 

Параметры  и  должны задаваться в совокупности экзогенных переменных системы. Функция  и ее плотность распределения  должны поступать в систему в совокупности координат вектора входного сигнала. Для оценочных и численных расчетов может быть использовано выражение:

 

(П1.17)

где

вероятность воздействия на i-й элемент f-й степени j-го возмущающего фактора;

 

вероятность реализации функционального состояния i-го элемента, имеющего k-ю степень сопротивляемости при воздействии на него f-ой степени j-го возмущающего фактора.

 

Как и в предыдущем выражении, вероятности  и  должны поступать в агрегат с вектором входного сигнала. В простейшем случае  может быть априорно вычислена как соотношение интегральных характеристик эффективной степени возмущения и минимального порога чувствительности к заданному возмущению и содержаться в комплексе экзогенных переменных.

Рассмотрим принципы имитационного моделирования элементов агрегата первой группы, для которых требуется оценка величины, количественно выражающей их функциональное состояние, после реализации особого состояния системы. В общем случае выражение для определения математического ожидания данной величины выглядит следующим образом:

 

(П1.18)

где

комплексный коэффициент сопротивляемости i-го элемента j-му возмущающему воздействию;

 

функция, характеризующая нормированное координатой r функциональное состояние i-го элемента при реализации j-го возмущающего воздействия;

 

плотность распределения функции .

 

Функция  и ее плотность распределения  могут быть заданы в качестве координат вектора входного сигнала.

При имитационном моделировании с помощью кусочно-линейных агрегатов [3,4,11,40] пригодны два выражения, каждое из которых соответствует определенной схеме формирования входных сигналов и содержит координаты вектора входного сигнала в виде одного из двух параметров:

 

 

(П1.19)

 

(П1.20)

где

величина, количественно характеризующая функциональное состояние i-го элемента, подвергаемого f-й степени воздействия j-го фактора;

 

вероятность реализации события, заключающегося в осуществлении воздействия f-й степени j-го возмущающего фактора на i-й элемент;

 

вероятность осуществления для i-го элемента функционального состояния, характеризующегося m-й степенью своего количественного выражения применительно к j-му возмущающему фактору;

 

априорно задаваемое детерминированное значение параметра m-й степени количественного значения.

 

В выражениях (П1.17) – (П1.20) параметры , , , , ,  представляют собой экзогенные переменные, поступающие при моделировании в систему с входным сигналом. Необходимо отметить, что в (П1.16) и (П1.18) при более строгом рассмотрении должен иметь место интеграл вида:

 

(П1.21)

 

который значительно упрощается при переходе к полярной системе координат с учетом центральной симметрии и ограничением интегрирования верхним значением нормирующей переменной r, при котором вероятность реализации функционального состояния элемента становится пренебрежимо малой.

При необходимости наряду с математическим ожиданием может быть вычислен и стандарт искомой величины по известным формулам [1,24,39,52,68]:

 

 

(П1.22)

 

(П1.23)

 

Прежде чем рассматривать дальнейшее изменение состояния агрегата во времени, необходимо осуществить проверку условия выдачи нового сигнала. Следует отметить, что в момент времени  может быть выдано лишь конечное число сигналов. При комплексном моделировании процессов выдачи двух и более выходных сигналов в зависимости от структуры входных сигналов и особого состояния системы возможны два подхода к определению координат вектора выходного сигнала.

В первом случае рассматривается двойной сигнал, в котором первая часть отражает процессы, происходящие с агрегатом при изменении его функционального состояния, а вторая характеризует функциональное состояние i-го элемента агрегата при изменении степени и характера воздействия j-го возмущающего фактора за счет вторичных эффектов, возникающих в системе. При этом параметр, характеризующий новое функциональное состояние системы, может быть определен следующим образом:

 

(П1.24)

где

детерминированная величина m-й степени, количественно характеризующая функциональное состояние i-го элемента под воздействием j-го фактора;

 

вероятность возникновения ;

 

вероятность воздействия j-го возмущающего фактора на i-й элемент.

 

В последнем выражении параметр  поступает из комплекса эндогенных переменных, а  и  – из координат вектора входного сигнала. При этом в простейшем случае  может приниматься для факторов, воздействующих на агрегат в целом, равной 0 или 1, а для факторов, характеризующихся локальным или избирательным воздействием, может быть определена как отношение величин, характеризующих фиксированную степень чувствительности компоненты агрегата и системы в целом. В данном случае все величины нормируются координатой r.

Во втором подходе рассматривается конечный однородный поток сигналов (s – их количество). В данном случае комплексное воздействие на элементы оценивается с помощью вероятности Q попадания в диапазон их чувствительности определенного числа воздействий. Анализ показывает, что в большинстве случаев правомерным является допущение о пуассоновском характере потока комплексных факторов, т.к. при этом приблизительно соблюдаются условия ординарности и отсутствия последействия.

Таким образом, вероятность перехода элемента в определенное функциональное состояние в целом может быть определена по следующей зависимости:

 

(П1.25)

где

вероятность перехода элемента в функциональное состояние при количестве воздействий q;

 

вероятность перехода элемента при единичном воздействии;

 

q

общее количество воздействий;

 

вероятность попадания в зону чувствительности элемента точно s воздействий.

 

Вероятность  может быть определена по закону Пуассона (в простейшем случае) [1,39,52]:

 

(П1.26)

где

m

среднее число воздействий, приходящееся на зону чувствительности элемента, которое определяется априорно путем статистической обработки комплекса эндогенных переменных.

 

Необходимо отметить, что выражение (П1.26) является приближенным, основанным на допущении, что

 

(П1.27)

 

а точное выражение, учитывающее смешанную вероятностную схему переходов, выглядит следующим образом:

 

(П1.28)

где

вероятность перехода в определенное функциональное состояние элемента при s-кратном воздействии.

 

Использование выражения (П1.27) для определения , в известном смысле, также является не вполне корректным. Очевидно, что в общем случае необходимо использовать биномиальное распределение [65]:

 

(П1.29)

где

вероятность того, что в зоне чувствительности элемента окажется s воздействий фактора из общего количества q воздействий;

 

число сочетаний из q по s;

 

вероятность того, что при однократном воздействии значение фактора окажется в зоне чувствительности элемента агрегата.

 

Если состояние  не удовлетворяет условиям выдачи выходного сигнала, то дальнейшее состояние агрегата изменяется по следующему закону (при ):

 

(П1.30)

 

В дальнейшем при моделировании процессов функционирования агрегата вопрос о выдаче выходных сигналов и изменении состояния с течением времени решается аналогично. Процесс функционирования агрегата в промежутках между особыми состояниями представляется целесообразным моделировать с помощью стохастической схемы в условиях непрерывного времени, при этом могут быть использованы алгоритмы, основанные на системах дифференциальных уравнений или массового обслуживания. Стохастизм в модели формируется за счет реализации специальных преобразующих функций, которые получаются путем нелинейного преобразования функций плотности распределения, соответствующих вероятностному процессу.

В режиме непрерывного времени в ходе моделирования процесса функционирования агрегата в промежутке между особыми состояниями (оператор ) должен проверяться факт выдачи выходного сигнала. Вероятность того, что до момента времени  сигнал системой не будет выдан, может быть определена из следующего выражения [62,65]:

 

(П1.31)

 

Параметр  в выражении (П1.31) представляет собой условную плотность вероятности выдачи системой в момент времени  выходного сигнала при условии, что ранее сигнал не выдавался. Данный параметр при моделировании должен быть задан в комплексе эндогенных переменных.

Заметим, что различные этапы жизненного цикла агрегатов лучше моделировать с помощью разных подходов. Так, процессы замены агрегата при принятии решения о внедрении нового технического изделия, обладающего меньшим электропотреблением, моделируются с помощью зависимости (П1.15), т.к. факт попадания агрегата в зону принятия решения системой управления является событием достоверным при условии, что решение на уровне внешней системы управления состоялось. Поэтому моделируются здесь только последствия выполнения решения (выдача выходного сигнала). В ходе исследования процессов модернизации агрегата с целью внедрения энергосберегающих технологий моделируется сам факт изменения состояния агрегата. При этом целесообразно использовать систему непрерывного времени (в простейшем случае – (П1.31)). Процессы функционирования агрегатов целесообразно моделировать также в системе непрерывного времени, однако с использованием более сложных математических конструкций (в основном – систем массового обслуживания). Различные схемы построения алгоритмов при моделировании агрегативных систем изложены в [1,3,4,11,39,40,68].

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru

При использовании материалов ссылки обязательны

Все права защищены © Гнатюк В.И., 2005

E-mail: mail@gnatukvi.ru